1. 基础数学运算

Python内置了丰富的数学运算功能，通过math模块可以访问更多高级数学函数。

基本算术运算

# 加法、减法、乘法、除法
a = 10
b = 3
print(f"加法: {a} + {b} = {a + b}")
print(f"减法: {a} - {b} = {a - b}")
print(f"乘法: {a} * {b} = {a * b}")
print(f"除法: {a} / {b} = {a / b:.2f}")  # 保留两位小数
print(f"整数除法: {a} // {b} = {a // b}")
print(f"取模: {a} % {b} = {a % b}")
print(f"指数: {a} ** {b} = {a ** b}")

使用math模块

import math

# 常用数学函数
print(f"平方根: √{a} = {math.sqrt(a)}")
print(f"对数: log10({a}) = {math.log10(a)}")
print(f"自然对数: ln({a}) = {math.log(a)}")
print(f"e的{a}次幂: e^{a} = {math.exp(a)}")
print(f"正弦: sin(π/3) = {math.sin(math.pi/3):.2f}")
print(f"向上取整: ceil(3.2) = {math.ceil(3.2)}")
print(f"向下取整: floor(3.8) = {math.floor(3.8)}")

2. 质数相关算法

质数在密码学、算法设计中有着广泛应用，以下是Python实现质数检测和生成的方法。

质数检测

def is_prime(n):
    """检查一个数是否为质数"""
    if n <= 1:
        return False
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    # 检查到平方根即可
    for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# 测试质数检测
print(f"17 是质数吗? {is_prime(17)}")  # True
print(f"25 是质数吗? {is_prime(25)}")  # False

生成质数序列

def generate_primes(limit):
    """使用埃拉托斯特尼筛法生成质数序列"""
    sieve = [True] * (limit + 1)
    sieve[0] = sieve[1] = False
    for i in range(2, int(limit ** 0.5) + 1):
        if sieve[i]:
            sieve[i*i:limit+1:i] = [False] * len(sieve[i*i:limit+1:i])
    return [i for i, is_prime in enumerate(sieve) if is_prime]

# 生成100以内的质数
primes = generate_primes(100)
print("100以内的质数:")
print(primes)

3. 斐波那契数列

斐波那契数列是数学中著名的数列，在算法分析和自然界中都有广泛应用。

递归实现

def fibonacci_recursive(n):
    """递归方式实现斐波那契数列"""
    if n <= 1:
        return n
    return fibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2)

# 测试递归实现
print("递归实现:")
for i in range(10):
    print(fibonacci_recursive(i), end=" ")  # 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

迭代实现（高效）

def fibonacci_iterative(n):
    """迭代方式实现斐波那契数列（更高效）"""
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

# 测试迭代实现
print("\n迭代实现:")
for i in range(10):
    print(fibonacci_iterative(i), end=" ")

4. 最大公约数与最小公倍数

GCD和LCM是数论中的基础概念，在分数运算和密码学中有重要应用。

欧几里得算法（GCD）

def gcd(a, b):
    """使用欧几里得算法计算最大公约数"""
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

# 测试GCD
print(f"GCD(48, 18) = {gcd(48, 18)}")  # 6
print(f"GCD(35, 14) = {gcd(35, 14)}")  # 7

最小公倍数（LCM）

def lcm(a, b):
    """计算两个数的最小公倍数"""
    return abs(a * b) // gcd(a, b) if a and b else 0

# 测试LCM
print(f"LCM(12, 18) = {lcm(12, 18)}")  # 36
print(f"LCM(5, 7) = {lcm(5, 7)}")     # 35

扩展欧几里得算法

def extended_gcd(a, b):
    """扩展欧几里得算法，返回(g, x, y)使得g = gcd(a, b) = ax + by"""
    if b == 0:
        return (a, 1, 0)
    else:
        g, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)
        g, x, y = g, y1, x1 - (a // b) * y1
        return g, x, y

# 测试扩展欧几里得算法
g, x, y = extended_gcd(48, 18)
print(f"48*{x} + 18*{y} = {g}")  # 48*(-1) + 18*(3) = 6